Практические применения геометрии Лобачевского

Мы привыкли думать, что геометрия наблюдаемого мира евклидова, т.е. в нем выполняются законы той геометрии, которая изучается в школе. На самом деле это не совсем так. В этой статье мы рассмотрим проявления в реальности геометрии Лобачевского, которая, на первый взгляд, является сугубо абстрактной.

Геометрия Лобачевского отличается от привычной евклидовой тем, что в ней через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Ее также называют гиперболической геометрией.

1. Евклидова геометрия – через белую точку проходит только одна прямая, которая не пересекает желтую прямую
2. Геометрия Римана – любые две прямые пересекаются (не существует параллельных прямых)
3. Геометрия Лобачевского – существует бесконечно много прямых не пересекающих желтую линию и проходящих через белую точку

Для того, чтобы читатель мог это себе наглядно представить, кратко опишем модель Клейна. В этой модели плоскость Лобачевского реализуется как внутренность круга радиуса один, где точками плоскости являются точки этого круга, а прямыми – хорды. Хорда – прямая, соединяющая две точки окружности. Расстояние между двумя точками определяется достаточно сложно, но оно нам не понадобится. Из рисунка выше становится понятно, что через точку Р проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую а. В стандартной Евклидовой геометрии, существует лишь одна прямая проходящая через точку Р и не пересекающая прямую а. Эта прямая является параллельной.

Теперь перейдем к главному – практическим применениям геометрии Лобачевского.

Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) – (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.

Читателю наверняка известно, что, благодаря эффекту в Специальной теории относительности, из-за большой скорости спутника время на орбите идет отлично от времени на Земле. Но еще есть подобный эффект в Общей теории относительности, связанный как раз с неевклидовой геометрией пространства-времени. Опять же не будем вдаваться в математические подробности поскольку они довольно таки абстрактные. Но, если перестать учитывать эти эффекты, то уже за сутки работы в показаниях навигационной системы накопится ошибка порядка 10 км.

Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Приведем побольше примеров:

Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее. Кстати, если вы помните в прошлом выпуске мы рассказывали о шестиугольниках в природе, так вот, в гиперболической природе альтернативой являются семиугольники, которые также широко распространены.